[선형대수] 고유값(eigenvalue)과 고유벡터(eigenvector)가 이해가 잘 안돼요ㅠㅠ

[선형대수] 너무 쉬운 고유값(eigenvalue)과 고유벡터(eigenvector)

고유값과 고유벡터의 의미는 나중에 설명하기로 하고 아래의 행렬 곱을 보자.

계산 결과 값에 어떤 값을 곱해서 원래의 111행렬을 만들 수 없다.

이번엔 1 1 0 행렬을 곱해보자.

이 경우엔 결과 값에 1/3을 곱해서 1 1 0을 만들 수 있다.

여기서  

에서 3이 고유값이고 이 고유벡터이다.

정의

n x n 행렬 A가 있을 때 아래의 식을 만족하는 는 고유값, X는 고유벡터이다.

 

이식을 방정식 형태로 쓰면 

 이 된다. 고유벡터는 영이 아닌 벡터로 정의 되어있으므로 x의 계수행렬이 특이행렬이어야 한다.

 는 A의 특성방정식(characteristic equation)이라고 부른다.

이 방정식을 풀면 고유값과 고유벡터를 구할 수 있다.

예제1

의 특성다항식은 아래와 같다.

그리고 행렬식 계산을 통해 구한 특성방정식은 아래와 같다.

방정식을 풀면 해는 2 또는 -1이다.

즉, A의 고유값은 2와 -1이다.

람다 2를 위의 식에 다시 대입하면,

이고

이 되어 의 관계를 얻는다. 이 방정식 계의 해는 r을 스칼라로 놓고 

로 나타낼 수 있다. 즉 에 대응하는 고유벡터는  의 형태인 영이 아닌 벡터가 된다.

마찬가지로 을 대입하면 형태의 고유벡터를 구할 수 있다. (s는 스칼라)