[선형대수] 가우스-요르단(조던) 소거법 Gauss-Jordan elimination

[선형대수] 가우스-요르단 소거법

행렬을 사용하여 선형방정식계를 풀 때 가우스-요르단 방법을 사용한다.

그전에 몇 가지 용어 설명!

계수행렬과 첨가행렬

아래의 선형방정식계를 변수의 계수들로 구성되는 계수행렬과 계수와 우변의 상수를 함께 포함하는 첨가행렬로 나타낼 수 있다.

  (계수행렬)         (첨가행렬)

기본변환(Elemetary transformations)를 통해 선형방정식계를 다른 선형방정식계로 바꿀 수 있다.

이 변환은 행렬의 기본 행연산(elemetary row operation)을 이용하는게 편하다. 컴퓨터에서도 선형방정식계가 행렬로 입력되고 처리된다.

기본 행연산

1. 두 행을 교환한다.

2. 한 행에 영이 아닌 상수를 곱한다.

3. 한 행의 원소들의 상수배를 다른 행의 해당 원소들에 더한다.

이렇게 기본 행연산을 통해 만들어진 행렬을 행동등 행렬(row equivalent matrices)라고 부른다. 

기호 를 사용하여 동등관계를 나타낸다.

그러면 방정식계를 풀어보자.

이 식을 행렬로 만들면, 

그리고 기본 행연산을 이용해서 행렬을 조작한다.

여기서 계속 진행하기 위해서는 (2, 2) 위치에 0이 아닌 원소가 필요하다. 이를 위해 2행과 3행을 교환한다.

첨가행렬은 계수행렬 A와 상수항 B의 열로 구성된다. 이 행렬을 [A : B]로 쓴다.

행연산을 사용하여 첨가행렬을 한 열씩 ;단위행렬 과 같은 형태로 만들수 있다.

이 마지막 행렬 를 원래 첨가행렬의 기약 사다리형(reduced echelon form)이라고 부른다.

만약 [A : B]가 기약 사다리형으로 변환될 수 없으면 방정식계는 유일한 해를 갖지 않는다.

기약사다리형의 조건

1. 모든 원소가 영인 행은 모두 행렬의 바닥에 모여있다.

2. 그 외의 각 행에서 영이 아닌 첫 원소는 1이다. 이 원소를 선도 1이라고 부른다.

3. 첫 행 이후의 각 행에서 선도 1은 윗 행의 선도 1의 오른쪽에 위치한다.

4. 선도 1을 포함하는 열의 다른 원소는 모두 0이다.

많은 해를 갖는 경우?!

아래의 기약 사다리형의 경우

여기서 x3에 임의의 값 r을 넣으면 계의 일반해를 얻을 수 있다.

매개변수 r은 실수 집합이기 때문에 많은 해를 갖는다. r에 특정한 값을 넣어주면 특정한 해들이 얻어진다.

 

도움이 되셨으면 공감 한번  눌러주세요^^