[엑셀 데이터 분석] 이항분포(binomial distribution) BINOMDIST

[엑셀 데이터 분석] 이항분포(binomial distribution) BINOMDIST

어떤 실험의 결과가 (성공, 실패) 또는 (합격, 불합격)과 같이 두 가지 결과 중 하나로 나타나는 경우의 시행을 베르누이 시행(Bernoulli trial)이라고 하고 두 값 중 하나의 값을 취할 수 있는 확률 변수를 베르누이 확률변수라고 한다.

• 베르누이 시행 :

1. 각 시행의 결과는 성공(S) 또는 실패(F) 중의 하나로 나타난다.
2. 매 시행에서의 성공확률을 p=P(S)로 나타낸다면 실패확률 q=1-p이다. 따라서 p+q=1이 된다.
3. 각 시행은 독립이다.  즉, 한 시행에서의 성공 여부가 다음 시행의 성공확률에 영향을 미치지 않는다.

성공확률 p인 베르누이 시행에서 확률변수 X를 성공이면 1, 실패면 0으로 정의하면 확률변수 X의 평균과 분산은 다음과 같다.

동일한 성공확률 p를 가진 베르누이 시행을 독립적으로 n회 반복하여 시행할 때 성공의 횟수를 X라 하면 확률변수 X는 이항분포를 따르고 X~B(n, p)로 표현한다.

이항확률변수로 표현할 수 있는 예는 다음과 같다.

1) 앞면이 나타날 확률이 p인 동전을 n회 던졌을 때 나타나는 앞면의 횟수

2) 공정한 주사위를 n회 던졌을 때 1의 눈이 나타나는 횟수

3) 불량률 p인 제품 더미 중에서 n개를 추출하였을 때 그 중에 포함되는 불량품의 개수

위의 예시와 같다. 동일한 확률 p를 가정한다는 것을 확인해야 한다.

그리고 위의 내용은 고등학교 수학의 순열과 조합에 자주 나오는 단골 내용이다.

 

엑셀에서 이항분포의 확률계산은 BINOMDIST 함수를 이용한다.

• BINOMDIST(number_s, trials, probability_s, cumulative) :

    - number_s : 성공 횟수

    - trials : 독립 시행횟수

    - probability_s : 각 시행에서 성공확률

    - cumulative : 함수형태를 결정하는 논리 값 1이면 누적확률질량함수 값을 계산하고, 0 이면 확률질량함수 값을 계산한다.

예제 1

4개의 동전을 던질 때 나타나는 앞면의 수를 확률변수 X라 하면 X~B(4, 0.5)가 되고 나타난 앞면의 수가 x일 때의 확률은 다음과 같다.

엑셀 수식은 "=BINOMDIST(x, 4, 0.5, 0)" 를 입력하면 된다.

예제 2

어느 생산 공정의 불량률이 5%일 때, 이 공정에서 임의로 10개를 추출하였을 때 이 중에서 불량품이 3개 이상 포함될 확률은?

전체 확률 1에서 불량품이 2개 이하일 확률을 빼면 된다. 2개 이하일 확률은 누적확률질량함수(논리 값 1)을 사용해서 구할 수 있다.

= 1 - BINOMDIST(2, 10, 0.5, 1)

참조: 엑셀데이터분석, 한국방송통신대학교 출판문화원, 조신섭 외 3명 공저